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viernes, 8 de enero de 2016

Las cuentas de Interstellar

El pasado 25 de noviembre se cumplió el primer centenario de la presentación de la Relatividad General en  la Academia Prusiana de Ciencias. Además este año 2015 se ha rendido un homenaje muy interesante a esta teoría a través de la película de ciencia-ficción (con bastante ciencia) "InterStellar".

Las matemáticas que están detrás de la relatividad general se llama cálculo tensorial y geometría diferencial y se aplica en la geometría de las superficies curvas y en la física de fluidos (líquidos y gases). La ecuación principal de la RG es:

R ik 1 2 g ik R = 8 π G T ik R_ik - 1 over 2 g_ik R = 8%pi G T_ik

Los subíndice i k corren desde 1 hasta 4, es decir, las tres dimensiones espaciales y el tiempo. En total es una ecuación matricial con 16 componentes,es decir, son 16 ecuaciones en las que encontramos segundas derivadas en ecuaciones no lineales, o sea, productos de varias variables.

Aparentemente algo más complicado que la buena y conocida (por algunos) teoría de Newton con sus fuerzas a distancia, su masa y su inercia. Pero la teoría de Newton que sí funciona bastante bien para gravedades débiles y bajas velocidades debe estar dentro, de alguna forma, de la relatividad general.

Gran parte de estos cálculos nos llevarán a fórmulas correctas pero usando métodos matemáticos sencillos basados parcialmente en la física newtoniana, no aplicable a los AN, salvo como primera aproximación. Por suerte un acercamiento más riguroso lleva a las mismas conclusiones. 


El tiempo es relativo.

Estamos acostumbrados a pensar que la duración de los fenómenos no depende del punto de vista. Eso es porque todo lo que conocemos se mueve relativamente despacio. Imaginemos que vamos en la nave de InterStellar y disparamos un láser hacia el techo. Si lo vemos desde dentro de la nave el rayo sube en vertical desde el suelo al techo y las distancia recorrida será h (altura de la nave). Si lo vemos desde un planeta el rayo avanzará inclinado y recorrerá una distancia mayor que antes.



En otros tiempos habríamos pensado que el tiempo transcurrido en ambos escenarios era el mismo, pero ahora sabemos gracias al experimento de Michelson-Morley (1887) que lo que no cambia en los dos casos es la velocidad de la luz c.

Por lo tanto si la velocidad es constante y la distancia recorrida es mayor desde el punto de vista del planeta, entonces el rayo de luz tarda más tiempo en alcanzar el techo si lo miramos desde el planeta que si lo vemos desde un asiento en la nave. Y lo mismo pasa con cualquier otro fenómeno físico, es decir, el tiempo no transcurre igual dentro y fuera de la nave.

Resumiendo: el tiempo propio τ (tau), el que se mide dentro de la nave, siempre es menor que t, el medido desde cualquier otro lugar que se mueva respecto de la nave.

Es fácil ver la relación entre τ y t. En la figura de la derecha tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es l, el cateto vertical es h y el cateto horizontal como la nave se mueve a velocidad v es vt. Entonces aplicando el teorema de Pitágoras:

l 2 = ( vt ) 2 + h 2 h 2 = l 2 v 2 t 2 l^2 = (vt)^2 + h^2 newline h^2 = l^2 - v^2 t^2

Además como la velocidad de la luz es independiente del punto de vista:
 
h = c τ l = c t h = c %tau newline l = c t

Y juntando todo obtenemos:

c 2 τ 2 = c 2 t 2 v 2 t 2 τ 2 = t 2 v 2 c 2 t 2 τ 2 = t 2 ( 1 v 2 c 2 ) τ = t 1 v 2 c 2 c^2 %tau^2 = c^2 t^2 - v^2 t^2 newline %tau^2 = t^2 - v^2 over c^2 t^2 newline %tau^2 = t^2 left( 1 - v^2 over c^2 right) newline %tau = t sqrt{ 1 - v^2 over c^2 }

El concepto  de agujero negro nace en 1796 de la mano de Laplace. La velocidad de escape de cualquier planeta o estrella depende de su masa M y se obtiene igualando la energía cinética de una partícula de masa m más su potencial en la superficie del planeta a 0 (que es su energía en reposo muy lejos del planeta).

1 2 m v esc 2 G M m R = 0 1 2 v esc 2 = G M R 1 over 2 m v_esc^2 - G {M m} over R = 0 newline 1 over 2 v_esc^2 = G M over R

Laplace pensó en una estrella cuya velocidad de escape fuese igual a la velocidad de la luz y, por tanto, la luz no podría escapar de esta estrella. Para eso haría falta que el radio de la estrella negra fuese:

1 2 c 2 = G M R H R H = 2 G M c 2 1 over 2 c^2 = G M over R_H newline R_H = {2 G M} over c^2

Pero en la Relatividad NADA puede ir más deprisa que la luz, por lo tanto, cualquier cosa que este más cerca del centro que esta distancia R no puede escapar. Como nada de lo que sucede más allá de este punto se puede ver desde fuera, a esta frontera se la llama Horizonte de Sucesos.


El tiempo cerca del horizonte del agujero negro

Como hemos dicho antes las ecuaciones que obedece el espacio tiempo usan matemáticas parecidas a las que obedece un fluido. En algún sentido se puede considerar al espacio-tiempo como un liquido. Si nos dejamos caer a un agujero negro es como si nos dejáramos llevar a la deriva por la corriente; el espacio-tiempo nos arrastra. La velocidad de arrastre sería la de caída libre de un cuerpo en el campo gravitatorio:
v 2 = 2 G M R v^2 = {2 G M} over R

Si no nos dejamos arrastrar y nos mantenemos a una distancia fija R es porque nos estamos moviendo a esa velocidad respecto del espacio-tiempo que se desliza bajo nuestros pies, estamos parados pero porque avanzamos contracorriente. Entonces existirá un desfase temporal entre dos puntos que estén a distintas distancias del agujero negro como sucedía en la película. Este desfase sigue la misma ecuación que el desfase entre dos objetos en movimiento:

τ = t 1 v 2 c 2 = t 1 2 G M c 2 R %tau = t sqrt{ 1 -v^2 over c^2 } = t sqrt{ 1 - {2 G M } over { c^2 R} }

Usando la definición del radio de Schwarzschild o del horizonte de sucesos queda de esta forma:

τ = t 1 R H R %tau = t sqrt{ 1 - R_H over R }

Otro día la curvatura de la luz cuando pasa cerca de una estrella y la temperatura de un agujero negro (efecto Hawking).

Pasa saber más

El artículo original de Einstein:  Die Feldgleichungen der Gravitation
Y su traducción al inglés: The field equations of Gravitation

Un esplendido libro de divulgación sobre la teoría de la relatividad especial escrito por Landau, un brillante físico teórico soviético que además, y esto es más raro, fue un gran divulgador: "¿Qué es la teoria de la relatividad?" Landau +Rummer

Artículo sobre la relatividad general (español): 25 de noviembre de 1915 – El artículo de Einstein

4 comentarios:

  1. Respuestas
    1. Ya te he entendido. Te referías no a la fórmula en sí, sino a su escritura. He usado mathML pero parece que se ve bien por defecto en Firefox, en otros navegadores hace falta un plugin.

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