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domingo, 26 de febrero de 2017

El parecido de Trappist-1 con el sistema solar

Muy interesante la búsqueda de exoplanetas de las dos últimas décadas que ya nos ha dejado más de 3000 nuevos planetas y 650 nuevos sistemas planetarios en nuestras enciclopedias. Este gran número de descubrimientos parece solo el comienzo dado el crecimiento exponencial de la gráfica de hallazgo de exoplanetas.
Igualmente asombroso y exponencial pero decayente es el supuesto interés de la audiencia en una noticia lo que implica que los tiempos en los telediarios sean muy pequeños independientemente de la trascendencia de una noticia. Y estos tiempos audiovisuales implican prisas (o falta de preparación y profundidad) que dan lugar a frases curiosas en los noticieros como:

"El nuevo sistema que está cerca, a solo 40 años-luz"

Casi cierto, está relativamente cerca, en nuestra vecindad. La estrella más cercana al Sol, Próxima Centauri está a unos 4 años-luz mientras que el diámetro de nuestra galaxia, la Vía láctea es de unos 100.000 años-luz. Si salimos de nuestra galaxia ya nos iríamos a 2 millones y medio de años-luz para la galaxia de Andrómeda o 13.000 millones para los objetos más alejados (quásares) que se han observado. Aún así la Voyager 1, la sonda terrestre más rápida y que más lejos ha llegado,con su velocidad de 18 km/s tardaría unos 70.000 años en llegar a Próxima Centauri.

No hay que olvidar que
1 año-luz = (365 días)(24 h)(60 min)(60 s)(300.000 km/s) = 9,5x10¹² km =
9.500.000.000.000 km.

"El nuevo sistema es similar al nuestro"

Esta afirmación es mucho peor que la anterior, porque ¿en qué se parece el sistema de Trappist-1 al sistema Solar? Sí, tiene siete planetas que son similares (estos sí) a la Tierra, es decir, tienen masas entre 0,6 y 2 veces la masa de la Tierra (un planeta es de tipo Tierra si es rocoso y tiene un radio y masa parecidos a los de la Tierra). además de estos 7 planetas hay 3 que están en la zona habitable de su estrella (en el caso del Sol la zona habitable se extiende desde 0,84 U.A. hasta 1,67 U.A., es decir, un poco después de Venus y un poco antes de Marte). Aquí se acaba todo. Trapist-1 es una enana roja, una estrella con el 9% de masa que el Sol, mucho más fría que emite mayoritariamente en la parte baja del espectro visible (rojo) y en la infrarroja. Todos estos planetas, incluidos los que están en la zona habitable, orbitan más cerca de su estrella  que Mercurio del Sol. En el sistema solar tenemos varios gigantes gaseosos, algo de lo que no se ha hablado en Trappist-1.

Supongo que por las prisas confundirían la parte con el todo.

Artículo original en Nature ahora en Arxiv
Descubierto un sistema solar con siete planetas como la Tierra
Cómo viajar a Alfa Centauri

miércoles, 9 de noviembre de 2016

Trump de los sondeos

Ya es un hecho que ha ganado Trump en las elecciones presidenciales de E.E.U.U. No voy a predecir que ocurrirá ahora en ese país y en el mundo ni desde el punto de vista matemático, científico, geoestratégico, militar, diplomático o económico. Para eso ya están los expertos y/o los tertulianos.

Me voy a centrar en las previsiones matemáticas del resultado. Aparentemente solo ha habido una previsión que ha acertado, y no esta dada por un matemático sino por un historiador Allan Stipchman. basada en un test de 15 cuestiones. Pero, ¿y los sondeos y la estadística?

Últimamente la primera víctima de un proceso electoral suelen los sondeos estadísticos. Y esta vez también ¿O no?

Yo creo que realmente no. ¿Qué era lo que predecían estos sondeos? Que la media del porcentaje de votantes de Hillary era superior al de votantes de Trump en las muestras realizadas. Y eso se ha cumplido (en el voto popular los demócratas han superado a los republicanos en un millón de votos), pero el análisis del resultado final depende de los estados y del reparto de votos electorales. Seguro que alguno de los sondeos tenía en cuenta el análisis por estados, sobre todo en los estados llave (Ohio, Florida, Pensilvania, ...) . ¿El fallo se ha producido aquí?

Pues no lo sé. Porque en los sondeos que he visto se hablaba de la media del porcentaje (46% para Hillary y 44% para Trump). Pero ¿y el error máximo de los cálculos?¿y el tamaño de la muestra? Porque si el error fuera de un 4%, entonces esa diferencia de un 2% no tiene ninguna significación. Y cualquier factor aleatorio no considerado en la elección de las muestras explicaría la divergencia entre los sondeos y las elecciones.

Por favor, si alguien encuentra algún sondeo CORRECTO, con los datos completos y el error máximo, en lugar de mostrar solo las medias (que alguno tendrá que haber seguro) enviádmelos por favor.

Aquí dejaré una lista de algunos sondeos que he  encontrado yo:

jueves, 4 de agosto de 2016

Las potencias de 2 y la precisión de las hojas de cálculo

Hace unos días un compañero del departamento de matemáticas estaba intentando calcular con una hoja de cálculo el resultado de 2^64 para acompañar la leyenda del premio que ofrecio un rey al creador del ajedrez. Y se encontró con la sorpresa de que la hoja de cálculo que estaba usando da un resultado incorrecto.Veamos paso a paso las distintas facetas de esta historia.

Primero, la leyenda ilustradora. Un rey de la India tuvo a bien querer agradecer a un súbdito el invento d  un juego de tablero que le tenía totalmente absorbido y entusiasmado: el ajedrez. Así que decidió hecerle un obsequio. Y tan agradecido estaba que le dijo a este sabio que pidiese lo que quisiese ya que era un rey muy rico y poderoso (y así,  ya de paso presumía de ser rico, poderoso y generoso). En esto que el sabio le pidió algo que le pareció al rey poquita cosa: "Soy un hombre de necesidades limitadas, me conformo con que me des 1 grano de arroz por el primer escaque del tablero 2 por el segundo, 4 por el tercero y así hasta llegar al número 64". Seguramente el rey encargo este calculo a sus contables y la conclusión fue sorprendente, al menos para el rey y sus contables. No había suficiente arroz en todo el reino. Ni siquiera hay suficiente arroz en todo el mundo hoy en día para satisfacer la demanda del sabio del ajedres ya que el número de granos necesario es de 18,446,744,073,709,551,616. Suponiendo que cada grano pese unos 0,026 g necesitaríamos 494.378.475.966 toneladas, mientras que la producción mundial actual es de 481 millones de toneladas/año.

Segundo, ¿cómo nos damos cuenta de que la hoja de cálculo da un resultado incorrecto? Muy fácil. Si nos fijamos en los resultados de la primera columna en la que se expone el resultado de elevar 2 a los distintos números naturales. Nos fijamos en la cifra de la unidades y vemios que las potencias de 2 van pasando por este ciclo 2, 4, 8, 6, 2, ... y vuelta a empezar. Pero en la columna nombrada esto se cumple hasta la fila 49 y a partir de ahí la cifra de las  unidades se convierte en 0 para siempre. Esto es falta de precisión en los cálculo del programa no es que las matemáticas de multiplicar por 2 hayan cambiado.

Tercero, ¿y porqué no funciona la hoja de cálculo a partir de esa fila?  El número entero mayor que se puede manejar en las hojas de calculo actuales sin aproximaciones ni redondeos es 10^15. Más allá podemos usar potencias de 10 dando el número como el producto de un número con esta precisión y el exponente de una potencia de 10 de la siguiente forma 9,999999999999999 x10^n, de esta manera el tamaño del número es casi inacabable, pero la cantidad de cifras significativas sigue siendo como mucho 15 cifras.

Cuarto y final, ¿cómo se puede hacer esta cuenta de forma exacta en una hoja de cálculo?  Muy fácil, volviendo a usar lo que aprendimos en primaria: la multiplicación con llevadas. Tenemos dos columnas una para "unidades" y otra para "decenas" siendo estas números inferiores a 10^15 (en este caso he puesto como límite 10^12, es decir, un númreo de 12 cifras). Cuando se sobrepasa ese límite se corta el número a 12 cifras y se "lleva" 1 a las "decenas" sumándolo. Como mucho la llevada puede ser de +1 ya que para pasar de un número al siguiente multiplicamos el anterior por 2 (2x9 = 18). Desupés se forma el número resultado concatenando (uniendo) las dos columnas, primero las "decenas" y luego las "unidades" para dar 18,446,744,073,709,551,616.

Ver más:

Potencias de 2 (hoja de calculo libreoffice) 
Potencias de 2 (archivo pdf)


Números enteros en los lenguajes de programación 

Aquí vamos a meternos en las tripas de los programas y de los ordenadores. Ya sabemos que los ordenadores realizan los cálculos en código binario, por ejemplo el número 10 se expresaria como 10100 = 1·2^3 + 0·2^2 + 1·2^1 + 0·2^0. Se usa este formato por que cada 1 y cada 0 es una posición de memoria que solo puede tener 2 estados: encendida o apagada. Por eso tenemos varios tamaños de números enteros y con precisión perfecta pero tamaño limitado. la lista con los distintos tipos de números usados en los lenguak¡jes de programacion como Free Pascal empezaría con el byte que se compone de 8 cifras binarias y alcanza el valor máximo de 2^8 - 1 = 255, word con 16 bits y tamaño máximo 65535, longword con 32 bits y tamaño máximo 4,294,967,295.

Ordinal type in Free Pascal

martes, 7 de junio de 2016

Parábolas por todas partes

La idea de esta entrada tengo que agradecérsela a mi hija mayor y a Cervantes.

De la primera porque el otro día, viendo en la televisión un documental sobre ciencia aplicada a situaciones cotidianas, surgió que las pelotas y los jugadores de baloncesto trazan parábolas cuando están en el aire. Como mi hija está dando en estos momentos las funciones cuadráticas, cuyas gráficas son parábolas, dijo entre sorprendida y asustada: "¡Están por todas partes!". Unos días más tarde volvieron a aparecer al describir en una noticia la trayectoria que sigue un avión de las pruebas de gravedad 0 para los astronautas de la E.S.A., y sí esta trayectoria es aproximadamente parabólica durante el tiempo que se experimenta la gravedad 0.

Por otro lado Cervantes dando uns lista de los conocimientos necesarios para la ciencia de los caballeros andantes incluyo esta referencia a las matemáticas en "El ingenioso hidalgo Don Quijote de La Mancha" 2ª parte Capítulo XVIII "Es una ciencia —replicó don Quijote— que encierra en sí todas o las más ciencias del mundo...,ha de saber las matemáticas, porque a cada paso se le ofrecerá tener necesidad dellas"

Y sí, es verdad, las parábolas, y en general, las matemáticas están por todas partes y tendremos necesidad de ellas a cada paso.

En concreto las parábolas aparecerán por todas partes siempre que estemos en un campo gravitatorio constante ya que en estas condiciones cualquier objeto que lancemos seguirán una trayectoria aproximadamente parabólica si la velocidad de lanzamiento es baja.  No son fáciles de ver a menos que podamos ver la huella de las posiciones por la que pasa usando fotografía estroboscópica, o mejor, mirando la trayectoria de un chorro de agua que dibuja casi perfectamente una parábola. Varias si tenemos varios chorros saliendo con distinta velocidad de los surtidores.



miércoles, 17 de febrero de 2016

Ondas y la música de las esferas

Hay ondas por todas partes, últimamente también en todos los medios gracias a la detección experimental de ondas gravitacionales descubiertas por Einstein hace un siglo como consecuencia de las ecuaciones de campo gravitatorio presentes en su teoría de la Relatividad General.

Pero aparte de estas ondas famosas hoy la ondas abundan en el universo, cerca y lejos de nosotros. Hay ondas en la superficie de agua (olas), en el aire (ondas de sonido), dentro de la Tierra (ondas sísmicas),...



Las ondas más famosas (hasta ahora) por su ubicuidad y utilidad natural y técnica eran las ondas electromagnéticas. Dentro de estas se encuentran las ondas de radio (comunicación y radar), las de televisión, las del wifi, las microondas (hornos, radar y máser). Las ondas radioeléctricas fueron descubiertas por Maxwell en 1864 al escribir su ecuación del campo electromagnético,  producidas y detectadas por Hertz en 1888. Sin embargo lo más sorprendente no fue la tecnología con la que se consiguió producir estas nuevas ondas, sino que tenían poco de nuevas. Estas ondas eran las mismas que las de la luz (visible, infrarroja y ultravioleta) conocidas desde mucho antes.



Todas la ondas tienen varias características comunes. La primera que en cada punto las ondas son vibraciones de "algo". Este "algo" puede ser la altura de la superficie del agua, la altura de un trozo de cuerda que oscila, la densidad del aire (sonido). En el caso de las ondas  más novedosas son cosas menos tangibles. En la luz y la radio se trata del campo eléctrico y magnético, y en las ondas gravitacionales es el campo métrico, es decir, una magnitud que nos dice la distancia entre dos puntos fijos A y B.

Por lo tanto para detectar ondas gravitatorias se usa un aparato que mide con gran precisión distancias entre dos puntos "fijos": un interferómetro, aparato basado en las tecnologías de las ondas, en este caso ópticas. Un detalle bonito de la historia de la ciencia es que en el experimento de Michelson-Morley (1887) en el que se confirmó la constancia de la velocidad de la luz base de la relatividad especial era también un interferómetro parecido, aunque mucho más primitivo y con menos precisión que el usado en la detección de las ondas gravitatorias LIGO capaz de detectar variaciones de una diezmilésima parte del diámetro de un átomo (0,000 000 000 000 01 m)

¿A qué viene tanto revuelo por la confirmación de la existencia de estas ondas? ¿Solo por el interés de confirmar las predicciones de Einstein? Pues no solo por eso. Desde el comienzo de la observación del cielo la única fuente de información sobre el universo lejano provenía de las ondas electromagnéticas. Primero la luz visible, y a partir del siglo XX se han incorporado las ondas de radio, infrarrojos, rayos X y rayos gamma.

Pero aún existen fenómenos que se producen en regiones del Universo que son opacas a casi todas o todas las radiaciones electromagnéticas, por lo que estas ondas serían inútiles para conseguir información. Y es en este punto dónde entran las ondas gravitacionales.

Un caso concreto lo tenemos en la exploración del comienzo del universo. Existe una radiación fósil que es el fondo de microondas. Este fondo son los ecos de la radiación electromagnética de la creación. Pero esta radiación no proviene de los primeros instantes del universo, sino de la época de la recombinación que se produjo 300.000 años más tarde. Tras la recombinación  el espacio se hizo transparente a la radiación electromagnética al reunirse los electrones con los núcleos atómicos, ya que antes estaban separados y las cagas libres formando un plasma  e impiden la transmisión de la radiación electromagnéticas. Las ondas gravitacionales nos pueden traer información nueva y útil de la época opaca anterior a la recombinación.

El evento que ha creado esta onda gravitacional, llamada GW150914, ha sido el choque y fusión de dos agujeros negros de tamaño estelar (unas decenas de masas solares). Han construido una onda sonora que coincide en frecuencia y forma con la de la onda gravitatoria para que podamos escuchar esta música de las esferas que se propaga por el espacio-tiempo. Quizás los pitagóricos tenían razón porque esta música es la que se escucha por la fricción de los mecanismos que hacen moverse los cuerpos celestes.



Ver también:
Cronologia del Big Bang
Principia Marsupia: Cómo explicarle las ondas gravitacionales a tu abuela
Introducción a LIGO y a las ondas gravitacionales
Otro proyecto-antena: LISA PathFinder En busca del sonido del universo que predijo Einstein 
Gran libro: "Los tres primeros minutos del Universo" Steven Weinberg (1988)

viernes, 8 de enero de 2016

Las cuentas de Interstellar

El pasado 25 de noviembre se cumplió el primer centenario de la presentación de la Relatividad General en  la Academia Prusiana de Ciencias. Además este año 2015 se ha rendido un homenaje muy interesante a esta teoría a través de la película de ciencia-ficción (con bastante ciencia) "InterStellar".

Las matemáticas que están detrás de la relatividad general se llama cálculo tensorial y geometría diferencial y se aplica en la geometría de las superficies curvas y en la física de fluidos (líquidos y gases). La ecuación principal de la RG es:

R ik 1 2 g ik R = 8 π G T ik R_ik - 1 over 2 g_ik R = 8%pi G T_ik

Los subíndice i k corren desde 1 hasta 4, es decir, las tres dimensiones espaciales y el tiempo. En total es una ecuación matricial con 16 componentes,es decir, son 16 ecuaciones en las que encontramos segundas derivadas en ecuaciones no lineales, o sea, productos de varias variables.

Aparentemente algo más complicado que la buena y conocida (por algunos) teoría de Newton con sus fuerzas a distancia, su masa y su inercia. Pero la teoría de Newton que sí funciona bastante bien para gravedades débiles y bajas velocidades debe estar dentro, de alguna forma, de la relatividad general.

Gran parte de estos cálculos nos llevarán a fórmulas correctas pero usando métodos matemáticos sencillos basados parcialmente en la física newtoniana, no aplicable a los AN, salvo como primera aproximación. Por suerte un acercamiento más riguroso lleva a las mismas conclusiones. 


El tiempo es relativo.

Estamos acostumbrados a pensar que la duración de los fenómenos no depende del punto de vista. Eso es porque todo lo que conocemos se mueve relativamente despacio. Imaginemos que vamos en la nave de InterStellar y disparamos un láser hacia el techo. Si lo vemos desde dentro de la nave el rayo sube en vertical desde el suelo al techo y las distancia recorrida será h (altura de la nave). Si lo vemos desde un planeta el rayo avanzará inclinado y recorrerá una distancia mayor que antes.



En otros tiempos habríamos pensado que el tiempo transcurrido en ambos escenarios era el mismo, pero ahora sabemos gracias al experimento de Michelson-Morley (1887) que lo que no cambia en los dos casos es la velocidad de la luz c.

Por lo tanto si la velocidad es constante y la distancia recorrida es mayor desde el punto de vista del planeta, entonces el rayo de luz tarda más tiempo en alcanzar el techo si lo miramos desde el planeta que si lo vemos desde un asiento en la nave. Y lo mismo pasa con cualquier otro fenómeno físico, es decir, el tiempo no transcurre igual dentro y fuera de la nave.

Resumiendo: el tiempo propio τ (tau), el que se mide dentro de la nave, siempre es menor que t, el medido desde cualquier otro lugar que se mueva respecto de la nave.

Es fácil ver la relación entre τ y t. En la figura de la derecha tenemos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es l, el cateto vertical es h y el cateto horizontal como la nave se mueve a velocidad v es vt. Entonces aplicando el teorema de Pitágoras:

l 2 = ( vt ) 2 + h 2 h 2 = l 2 v 2 t 2 l^2 = (vt)^2 + h^2 newline h^2 = l^2 - v^2 t^2

Además como la velocidad de la luz es independiente del punto de vista:
 
h = c τ l = c t h = c %tau newline l = c t

Y juntando todo obtenemos:

c 2 τ 2 = c 2 t 2 v 2 t 2 τ 2 = t 2 v 2 c 2 t 2 τ 2 = t 2 ( 1 v 2 c 2 ) τ = t 1 v 2 c 2 c^2 %tau^2 = c^2 t^2 - v^2 t^2 newline %tau^2 = t^2 - v^2 over c^2 t^2 newline %tau^2 = t^2 left( 1 - v^2 over c^2 right) newline %tau = t sqrt{ 1 - v^2 over c^2 }

El concepto  de agujero negro nace en 1796 de la mano de Laplace. La velocidad de escape de cualquier planeta o estrella depende de su masa M y se obtiene igualando la energía cinética de una partícula de masa m más su potencial en la superficie del planeta a 0 (que es su energía en reposo muy lejos del planeta).

1 2 m v esc 2 G M m R = 0 1 2 v esc 2 = G M R 1 over 2 m v_esc^2 - G {M m} over R = 0 newline 1 over 2 v_esc^2 = G M over R

Laplace pensó en una estrella cuya velocidad de escape fuese igual a la velocidad de la luz y, por tanto, la luz no podría escapar de esta estrella. Para eso haría falta que el radio de la estrella negra fuese:

1 2 c 2 = G M R H R H = 2 G M c 2 1 over 2 c^2 = G M over R_H newline R_H = {2 G M} over c^2

Pero en la Relatividad NADA puede ir más deprisa que la luz, por lo tanto, cualquier cosa que este más cerca del centro que esta distancia R no puede escapar. Como nada de lo que sucede más allá de este punto se puede ver desde fuera, a esta frontera se la llama Horizonte de Sucesos.


El tiempo cerca del horizonte del agujero negro

Como hemos dicho antes las ecuaciones que obedece el espacio tiempo usan matemáticas parecidas a las que obedece un fluido. En algún sentido se puede considerar al espacio-tiempo como un liquido. Si nos dejamos caer a un agujero negro es como si nos dejáramos llevar a la deriva por la corriente; el espacio-tiempo nos arrastra. La velocidad de arrastre sería la de caída libre de un cuerpo en el campo gravitatorio:
v 2 = 2 G M R v^2 = {2 G M} over R

Si no nos dejamos arrastrar y nos mantenemos a una distancia fija R es porque nos estamos moviendo a esa velocidad respecto del espacio-tiempo que se desliza bajo nuestros pies, estamos parados pero porque avanzamos contracorriente. Entonces existirá un desfase temporal entre dos puntos que estén a distintas distancias del agujero negro como sucedía en la película. Este desfase sigue la misma ecuación que el desfase entre dos objetos en movimiento:

τ = t 1 v 2 c 2 = t 1 2 G M c 2 R %tau = t sqrt{ 1 -v^2 over c^2 } = t sqrt{ 1 - {2 G M } over { c^2 R} }

Usando la definición del radio de Schwarzschild o del horizonte de sucesos queda de esta forma:

τ = t 1 R H R %tau = t sqrt{ 1 - R_H over R }

Otro día la curvatura de la luz cuando pasa cerca de una estrella y la temperatura de un agujero negro (efecto Hawking).

Pasa saber más

El artículo original de Einstein:  Die Feldgleichungen der Gravitation
Y su traducción al inglés: The field equations of Gravitation

Un esplendido libro de divulgación sobre la teoría de la relatividad especial escrito por Landau, un brillante físico teórico soviético que además, y esto es más raro, fue un gran divulgador: "¿Qué es la teoria de la relatividad?" Landau +Rummer

Artículo sobre la relatividad general (español): 25 de noviembre de 1915 – El artículo de Einstein

sábado, 2 de enero de 2016

Los empates de la asamblea de la CUP

Este famoso empate fue un hecho sorprendente para muchos, y seguramente inquietante para algún afiliado a la CUP que no acudió a la asamblea y se consoló dicendo que suvoto no sería decisivo.

Aunque para mí, más asombroso es el razonamiento que hizó un catedrático de matemáticas aplicadas y miembro del PP para explicar lo improbable que que era ese resultado. ¡Qué malas son las prisas y twitter!

Un razonamiento más serio está en el artículo ¿Era probable un empate en la Asamblea de la CUP? Al lector le podrá gustar más o menos la conclusión, y podrá estar más de acuerdo o menos con alguna hipótesis, pero el razonamiento matemático es cristalino y correcto.

Buen año 2016.